MAKALAH DAN PPT KELOMPOK

MAKALAH

INTEGRASI NUMERIK

Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Fisika Komputasi

Dosen Pengampu :

Winda Setya, M.Sc.

Disusun Oleh : Kelompok 9

Anggota :

Dinan Aghnia Choerunisa 1182070018

Farghenian Nur Ibrahim 1162070028

Gusnur Nida Adilah 1182070027

Muhammad Farhan 1182070035

Pendidikan Fisika VIA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

2021

KATA PENGANTAR

Segala puji kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayahnya sehingga kami dapat menyusun makalah ini yang berjudul “Integrasi Numerik” dengan tepat pada waktunya. Adapun tujuan dari penulisan makalah ini ialah untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Fisika Komputasi. Selain itu juga makalah ini bertujuan untuk menambah wawasan mengenai integrasi numerik baik dalam konsep maupun penggunaanya. Kami mengucapkan banyak terimakasih kepda dosen pengampu yang telah memberikan tugas ini sehingga kami dapat menambah pengetahuan dan wawasan mengenai mata kuliah ini. Kami menyadari bahwa makalah ini jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu kritik dan saran yang membangun kami terima untuk memperbaiki makalah ini.

Bandung, Maret 2021

Tim Penulis

DAFTAR ISI

1.1 Latar Belakang. 1

1.2 Rumusan Masalah. 1

1.3 Tujuan. 1

BAB 2. 2

PEMBAHASAN.. 2

2.1 Integrasi Numerik. 2

2.2 Jenis-jenis Metode Integrasi Numerik. 4

2.2.1 Metode Trapesium.. 4

2.2.2 Metode Simpson. 5

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Integral dapat diseleaikan melalui dua cara, yaitu secara analisis dan numerik. Pada matematika atau kalkulus penggunaan integral secara analisis telah banyak digunakan dan dipelajari. Dalam proses penyelesaiannya membutuhkan waktu yang cukup lama dan juga tidak efektif. Hal tersebut dapat terjadi jika fungsi-fungsi yang digunakan merupakan fungsi-fungsi yang kompleks dan rumit. Untuk menyelesaikan masalah tersebut maka perhitungan integral dapat dilakukan secara numerik. Perhitungan secara numerik ini berguna untuk mendapatkan suatu nilai aprokmasi (hampiran) dari pengintegralan yang tidak dapa terselesaikan dalam integral secara analisis. Dalam perhitungan integral secara numerik ini memiliki banyak metode. Namun disini akan membahas mengenai dua metode yang cukup sering digunakan yaitu metode trapesium dan metode simpson.

1.2 Rumusan Masalah

Jika dilihat dari latar belakang maka rumusan masalah yang dicari diantaranya yaitu sebagai berikut:

1) Apa yang dimaksud dengan metode integral secara numerik

2) Apa saja jenis metode integral numerik yang dapat digunakan

3) Bagaimana rumusan yang digunakan pada setiap jenis metode integral munerik yang digunakan

1.3 Tujuan

Tujuan penulisan makalah ini diantaranya yaitu:

1) Untuk mengetahui metode integral secara numerik

2) Untuk mengetahui beberapa jenis metode integral secara numerik

3) Untuk mengetahui rumusan yang digunakan pada setiap jenis metode integral numerik yang digunakan

BAB 2

PEMBAHASAN

2.1 Integrasi Numerik

Bentuk umum integral adalah:

Merupakan integral suatu fungsi f(x) terhadap variabel x yang dihitung antara batas x = a sampai x = b.

Integrasi numerik dilakukan apabila:

1. Integral sukar diselesaikan secara analitis.

2. Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi dalam

bentuk angka dalam tabel.

Penggambaran secara grafis:

Gambar 1. Integral suatu fungsi

I = luasan yang diarsir atau luasan yang dibatasi oleh fungsi f(x) dan sumbu x serta antara batas x = a dan x = b.

Dalam integral analitis, persamaan (1) dapat diselesaikan menjadi :

Dengan adalah integral dari sedemikian sehingga

Contoh Soal

Integral numerik dilakukan apabila :

1) Integral tidak dapat (sukar) diselesaikan secara analisis.

2) Fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analistis, tetapi secara numerik dalam bentuk angka (table).

Gambar 2. Metode Intergal Numerik

Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan perkiraan. Hitungan perkiraan tersebut dilakukan dengan fungsi polinomial yang diperoleh berdasar data tersedia. Bentuk paling sederhana adalah apabila tersedia dua titik data yang dapat dibentuk fungsi polinomial order satu yang merupakan garis lurus (linier). Seperti pada Gambar 2a, akan dihitung: yang merupakan luasan antara kurve f (x) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b, bila nilai f(a) dan f(b) diketahui maka dapat dibentuk fungsi polinomial order satu

Dalam gambar tersebut fungsi f (x) didekati oleh f1(x), sehingga integralnya dalam luasan antara garis f1(x) dan sumbu-x serta antara x = a dan x = b. Bidang tersebut merupakan bentuk trapesium yang luasannya dapat dihitung dengan rumus geometri, yaitu:

Apabila hanya terdapat dua data f (a) dan f (b), maka hanya bisa dibentuk satu trapesium dan cara ini dikenal dengan metode trapesium satu pias. Jika tersedia lebih dari dua data, maka dapat dilakukan pendekatan dengan lebih dari satu trapesium, dan luas total adalah jumlah dari trapesium-trapesium yang terbentuk. Cara ini dikenal dengan metode trapesium banyak pias. Seperti pada Gambar 2b, dengan tiga data dapat dibentuk dua trapesium, dan luas kedua trapesium (bidang yang diarsir) adalah pendekatan dari integral fungsi. Hasil pendekatan ini lebih baik dari pada pendekatan dengan satu pias. Apabila digunakan lebih banyak trapesium hasilnya akan lebih baik. Fungsi yang diintegralkan dapat pula didekati oleh fungsi polinomial dengan order lebih tinggi, sehingga kurve yang terbentuk tidak lagi linier, seperti dalam metode trapesium, tetapi kurve lengkung. Seperti pada Gambar 2c, tiga data yang ada dapat digunakan untuk membentuk polinomial order tiga. Metode Simpson merupakan metode integral numerik yang menggunakan fungsi polinomial dengan order lebih tinggi. Metode Simpson 1/3 menggunakan tiga titik data (polinomial order dua) dan Simpson 3/8 menggunakan empat titik data (polinomial order tiga). Jarak antara titik data tersebut adalah sama.

(Atmika, 2016).

2.2 Jenis-jenis Metode Integrasi Numerik

2.2.1 Metode Trapesium

Metode trapesium merupakan suatu metode integral numerik dengan menggunakan persamaan polinomial order satu.

2.2.1.1 Metode Trapesium Satu Pias

Gambar 3. Metode Trapesium

Dalam metode ini kurve lengkung dari fungsi digantikan oleh garis lurus. Seperti pada Gambar (2), luasan bidang di bawah fungsi antara nilai dan nilai didekati oleh luas satu trapesium yang terbentuk oleh garis lurus yang menghubungkan dan dan sumbu-x serta antara dan Pendekatan dilakukan dengan satu pias (trapesium). Menurut rumus geometri, luas trapesium adalah lebar kali tinggi rerata, yang berbentuk:

Penghitungan luasan dibawah kurva didekati dengan luasan trapesium (bagian yang diarsir)

Luas trapesium = lebar x (jumlah garis sejajar)/2

Pada Gambar 3, penggunaan garis lurus untuk mendekati garis lengkung menyebabkan terjadinya kesalahan sebesar luasan yang tidak diarsir. kesalahan yang terjadi dapat diperkirakan dari persamaan berikut:

Dengan adalah titik yang terletak di dalam interval a dan b.

Persamaan diatas menunjukkan bahwa apabila fungsi yang diintegralkan adalah linier, maka metode trapesium akan memberikan nilai eksak karena turunan kedua dari fungsi linier adalah nol. Sebaliknya untuk fungsi dengan derajat dua atau lebih, penggunaan metode trapesium akan memberikan kesalahan.

(Retno Tri Vulandari, 2017)

Contoh : Gunakan metode trapesium satu pias untuk menghitung

Penyelesaian :

Bentuk integral analitis di atas dapat diselesaikansecara analistis :

Hitungan integral numerik dilakukan dengan menggunakan persamaa

Untuk mengetahui tingkat ketelitian dari integral numerik, hasil hitungan numerik dibandingkan dengan hitungan analitis. Kesalahan relatif terhadap nilai eksak adalah:

Terlihat bahwa penggunaan metode trapesium satu pias memberikan kesalahan sangat besar (lebih dari 100 %).

2.2.1.2 Metode Trapesium Banyak Pias

Dari contoh diatas terlihat bahwa dengan menggunakan satu pias, kesalahan yang terjadi sangat besar. Untuk mengurangi kesalahan yang terjadi maka kurva fungsi yang lengkung didekati dengan sejumlah garis lurus sehingga berbentuk banyak pias, dengan panjang pias Dx seperti terlihat pada gambar. Semakin kecil pias yang digunakan maka hasilnya akan semakin teliti

Gambar 4. Metode Trapesium Banyak Pias

Batas pias diberi notasi :

Integrasi total :

Contoh 2:

Tentukan integral berikut dengan menggunakan metode trapesium empat pias dengan lebar pias Dx = 1, dan berapa kesalahan yang terjadi dibandingkan dengan penyelesaian eksaknya ;

Penyelesaian eksak I = e4 – e 0 = 53,598 Penyelesaian dengan metode trapesium banyak pias, menggunakan persamaan :

Sehingga kesalahan yang terjadi:

Contoh 3. Diberikan data dalam bentuk tabel:

x	0	1	2	3	4
F(x)	1	3	9	19	33

Hitung luasan dibawah fungsi f(x) dan diantara x = 0 dan x = 4

Jawab:

Dengan menggunakan persamaan

2.2.2 Metode Simpson

Selain metode trapesium, metode yang alternatif yang dapat digunakan yaitu metode simpson. Metode simpson merupakan suatu metode yang memiliki ketelitian yang cukup tinggi daripada metode trapesium. Cara menggunakan metode ini ialah dengan mengintegralkan deret Taylor (Supardi). Untuk mengaproksimasikan fungi integralnya metode ini menggunakan polinom interpolasi derajat dua atau parabola (Hernadi, 2012). Dalam penggunaan metode simpson terdapat beberapa syarat dalam penggunaanya yaitu sebagai berikut (Nursamsi, 2016):

a. Gambar dibagi-bagi menjadi sejumlah genap dengan potongan yng sama lebarnya yaitu s, sehingga akan ada sejumlah nilai fungsi atau ganjil ordinat yang termasuk kedua nilai batas

b. Nilai dari integral tentu diberikan oleh nilai numerik dari luas daerah di bawah kurva diantara

Dengan :

s = lebar interval (potongan)

jumlah ordinat awal dan akhir

4 x jumlah ordinat bernomor genap

2 x jumlah ordinat bernomor ganjil

c. Selalu susun dalam sebuah bentuk tabel. Ha ini akan mencegah melakukan kesalahan dalam metode dan perhitungan dan memungkinkan memeriksanya tanpa kesulitan. (Stroud, 2003)

2.2.2.1 Metode Simpson 1/3

Disamping menggunakan metode trapesium dengan interval yang lebih kecil, cara lain yang dapat digunakan untuk memperoleh hasil yang lebih teliti adalah menggunaan polinomial dengan order yang lebih tinggi untuk menghubungkan titik-titik.

Metode Simpson menggunakan polinomial order 2 dengan 3 titik untuk mendekati fungsi, yaitu di Rumus Simpson dapat diturunkan berdasarkan deret Taylor.

Gambar 4. Metode Trapesium Banyak Pias

dengan memasukkan nilai Dx ke persamaan , diperoleh:

Contoh 4:

Tentukan integral berikut dengan menggunakan metode Simpson , dan berapa kesalahan yang terjadi dibandingkan dengan penyelesaian eksaknya ;

Penyelesaian eksak

Penyelesaian dengan metode Simpson , menggunakan persamaan :

Sehingga kesalahan yang terjadi:

2.2.2.2 Metode Simpson 1/3 Banyak Pias

Metode ini sama seperti metode trapesium yang dapat diperbaiki dengan membagi luasan dalam sejumlah pias dengan panjang interval yang sama. Berikut merupakan gambar metode simpson dengan banyak pias dengan dan n adalah jumlah pias (Vulandari, 2017).

Gambar 6. Metode simpson dengan 1/3 banyak pias

Total luas yang diperoleh ialah dengan menjumlahkan semua pias pada gambar

Maka

Pada aturan simpson perkiraan kesalahan yang terjadi ialah

Contoh. Hitung , dengan metode simpson dengan

Penyelesaian:

Karena jika dilihat pada rumus maka interval Maka dengan menggunakan rumus

Besar kesalahan yang terjadi

2.2.2.3 Metode Simpson 3/8 Satu Pias

Metode simpson 1/3 memiliki ketelitian mencapai orde tiga dan memerlukan tiga titik, sedangkan metode simpson 3/8 memerlukan empat titik. Metode simpson 1/3 banyak pias hanya berlaku untuk jumlah pias genap, kemudian apabila dikehendaki jumlah pias ganjil maka dapat digunakan metode trapesium. Namun metode simpson 3/8 ini tidak begitu baik karena terdapat kesalahn yang cukup besar. Untuk itu kedua metode dapat digabung, yaitu sejumlah genap pias yang digunakan metode simpson 1/3 sedangan 3 pias sisanya digunakan metode simpson 3/8 (Vulandari, 2017).

Metode ini menggunakan polinomial Lagrange orde ketiga yang melalui empat titik untuk integrasi (Atmika, 2016; Fahrurozi, 2010).

Gambar 7. Metode simpson dengan 3/8 satu pias

Dengan maka

Metode simpson 3/8 satu pias juga dapat ditulis dalam bentuk

Untuk besar kesalahan dengan mengingat maka

Contoh. Hitung dengan aturan metode simpson 3/8.

Penyelesaian:

ž Metode simpson 3/8 dengan satu pias

Besar kesalahan

ž Metode simpson apabila digunakan 5 pias, dengan dengan:

Untuk 2 pias pertama dihitung dengan metode simpson 1/3

Untuk 3 pias terakhir digunakan metode simpson 3/8

Integral total

Besar kesalahan

BAB 3

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Metode integrasi numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan perkiraan, sehingga hasil yang diperoleh tidak sama persis dengan penyelesaian eksaknya. Terdapat beberapa jenis dari metode integrasi numerik yaitu metode trapesium dan metode simpson. Metode trapesium terdiri dari metode trapesium satu pias dan metode trapesium banyak pias. Sedangkan untuk metode simpson terdiri dari metode simpson 1/3 yaitu 1/3 satu pias, 1/3 banyak pias dan 3/8 satu pias. Untuk metode simpson caranya yaitu dengan menintegralkan deret Taylor. Dan untuk mengaproksimasikan fungsi integralnya metode simpson menggunakan polinom interpolasi derajat dua atau parabola